1. Basic provisions.

Hereinafter: the average player’s FIBS rating reflect its professionalism.

The basic idea when calculating commission is to make it “equal” i.e. to exclude the situation of advantages of playing specified matches for commission benefit (presently it is profitable playing matches under 11). The solution of this aim needs in definition of commission level for each match length. For needed match length should be the corresponding difference in players’ FIBS level. Let us define this critical difference for FIBS ratings as argument N. Supposing the difference in players’ level is less than N, than both gamblers play to the advantage of server. So no one benefit.

Notice N doesn’t depend on absolute values of players’ ratings. Mathematical expectation of players’ games result with player’s ratings 1900 against 1800 and 1600 against 1500 are equal.

2. The winning probability: the calculation of equal commission.

Match winning probability under n points is (refer to non favorite):

U = 1/(10exp(D*SQRT(n)/2000)+1)

When calculating the critical difference for currant commission is obviously that N is function away from the match length N(n), because of constant commission (10%, i.e. it is necessary to win 55% of matches for null result).

N(n) = (2000 * log (1/(0.5 – 0.5 * commission) - 1)) / SQRT(n)

When substitute commission = 0.1 and the match length = 1, 3, 5, 7, 9, 11 we deduce N values as following (refer to appendix):

N(1) = 174.3
N(3) = 100.63
N(5) = 77.95
N(7) = 65.88
N(9) = 58.1
N(11) = 52.55

As is obvious, it is objectless for professional gambler to play with length less then 5 points. The advantage of top-rank gambler is no use through the commission, because gambler must play vastly greater than his opponent for reach the null loss.

When substitute the same (!) N-value for ratings’ difference and matches’ lengths played on server; we deduce formulas for optimal commissions as following:

Kopt(1) = 1/(10exp(N/2000)+1)

The calculations for definite values are in appendix. Starting with certain commission rate, it is worth to fix it, stimulating the play on higher bets in longer matches.

1. Основные допущения.

Здесь и далее считаем, что силу игрока отражает его средний FIBS rating.
Основная идея при расчете комиссии заключается, в том, чтобы сделать ее «равномерной», т.е. исключить ситуацию, когда с точки зрения комиссии выгоднее играть определенный тип матчей (сейчас выгоднее всего играть матчи до 11). Для решения этой задачи необходимо определить уровень комиссии для каждой длины матча, такой, что ей соответствует некоторая разница в уровне FIBS игроков. Обозначим эту граничную разницу в рейтингах FIBS за переменную N. Если уровень игроков отличается менее чем на N, то оба игрока играют в пользу сервера, т.е. ни один не выигрывает.

Заметим, что N не зависит от абсолютных значений рейтингов игроков, матожидание результата игр игроков с рейтингами 1900 против 1800 и 1600 против 1500 – одинаковы..

2. Вероятности выигрыша, расчет равномерной комиссии.

Вероятность выигрыша матча до n очков более слабым игроком равна:

U = 1/(10exp(D*SQRT(n)/2000)+1)

Вычислим граничную разницу в рейтингах для текущей комиссии. Очевидно, что т.к. комиссия фиксирована (10%, т.е. чтобы иметь нулевой результат, необходимо выигрывать 55% матчей), то N будет являться функцией от длины матча N(n).

N(n) = (2000 * log (1/(0.5 – 0.5 * commission) - 1)) / SQRT(n)

Подставляя commission = 0.1 и длины матчей n = 1, 3, 5, 7, 9, 11 – получаем следующие значения N (см. приложение)

N(1) = 174.3
N(3) = 100.63
N(5) = 77.95
N(7) = 65.88
N(9) = 58.1
N(11) = 52.55

Как видно, игра длиной менее 5 очков в большинстве случаев не имеет смысла для профессионального игрока, т.к. преимущество сильнейшего сводится на нет из-за комиссии – только лишь для того, чтобы играть с нулевым результатом необходимо на порядок превосходить в классе игры своего оппонента.

Подставляя одинаковое значение (!) N на место разницы рейтингов и длины матчей, играемых на сервере, получаем следующие выражения для оптимальных комиссий:

Kopt(1) = 1/(10exp(N/2000)+1)

Расчет конкретных значений см. в приложении. Начиная с некоторого размера комиссии, ее имеет смысл фиксировать, стимулируя игру по более высоким ставкам в более длинных матчах.